傅里叶变换(FFT)在各种巡天中经常被应用，其中，计算星系数密度的三维功率谱需要使用三维傅里叶变换，这其中需要注意归一化问题。
假设星系数密度涨落是$F(r)$，其中$r = (x,y,z)$
傅里叶变换：
连续傅里叶变换对：
\begin{align}
F(\vec{k}) = \int F(\vec{r}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}} {\rm d}\vec{r}
\end{align}
\begin{align}
F(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int F(\vec{k}) e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} {\rm d}\vec{k}
\end{align}
注意，这里的 ${\rm d}\vec{r}$ 和 ${\rm d}\vec{k}$ 都是三维空间中的体积微元，分别表示 ${\rm d}r_x {\rm d}r_y {\rm d}r_z$ 和 ${\rm d}k_x {\rm d}k_y {\rm d}k_z$。离散傅里叶变换对：
\begin{align}
F(\vec{k}) = \sum_i F(\vec{r}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}}
\end{align}
\begin{align}
F(\vec{r}) = \frac{1}{N^3} \sum_i^N F(\vec{k}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}}
\end{align}
星系数密度功率谱
对于角平均的功率谱(不是角功率谱)，星系数密度功率谱是傅里叶变换模方的期望值：
\begin{align}
\left < F(\vec{k})^* F(\vec{k}) \right > = (2\pi)^3\delta_{\rm D} (\vec{k}+\vec{k}^\prime)P(\vec{k})
\end{align}
星系数密度的量纲为 1，坐标位置的量纲一般为 $h^{-1}\ {\rm Mpc}$。公式(5)定义了星系功率谱，单位：${\rm length}^6 = {\rm length}^3 P(k)$，此时功率谱的单位为 ${\rm length}^3$。这样功率谱的归一化可以从两方面考虑：
$(2\pi)^3$归一化：
与连续FFT的系数$(2\pi)^3$相比，离散傅里叶变换的系数相当于$N^3$，因此如果numpy.fft.fftn选择的归一化norm = 'ortho'，那么离散傅里叶变换对为：
\begin{align}
F(\vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{N^3}} \sum_i F(\vec{r}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}}
\end{align}
\begin{align}
F(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{N^3}} \sum_i^N F(\vec{k}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}}
\end{align}单位归一化，公式(1)(2)连续FFT是包含单位的，而计算FFT的程序
numpy.fft.fftn不含单位，相当于：
\begin{align}
F(\vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{N^3 \delta V_r}} \sum_i F(\vec{r}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}} \sqrt{\delta V_r}
\end{align}
\begin{align}
F(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{N^3 \delta V_r}} \sum_i^N F(\vec{k}) e^{-i\vec{k} \cdot \vec{r}} \sqrt{\delta V_k}
\end{align}
这里$\sqrt{\delta V_r}=1$，因此为了单位保持一致还需要将每个numpy的FFT结果乘以一个$\sqrt{\delta V_r}$，整体上就相当于乘以$\delta V_r = \delta r_x \delta r_y \delta r_z$。