最近看到一篇關於星系RSD效應功率譜的文章，裡面有Kaiser效應的展開形式，並且包含多級功率譜，於是手動推導了一下，恍然大悟，在此記下：
只包含Kaiser效應
星系理論二維功率譜$P(k,\mu)$：
\begin{align}
P(k,\mu) = (b+f\mu^2)^2P_{\rm m}(k)
\end{align}
其中$P_{\rm m}(k)$是線性物質功率譜。
可以根據勒讓德多項式${\cal L}_\ell(\mu)$展開為：
\begin{align}
P(k,\mu) = \sum_\ell P_\ell(k){\cal L}(\mu)
\end{align}
\begin{align}
\ell = 0: & \quad \mathcal{L}(\mu) = 1 \
\ell = 2: & \quad \mathcal{L}(\mu) = \dfrac{1}{2}(3\mu^2 - 1) \
\ell = 4: & \quad \mathcal{L}(\mu) = \dfrac{1}{8}(35\mu^2 - 30\mu + 3)
\end{align}
可以根據星系理論二維功率譜$P(k,\mu)$推導出勒讓德多級展開形式$P_\ell(k)$：
\begin{align}
P_\ell(k) = \int_{-1}^1 \frac{2\ell+1}{2} P(k,\mu){\cal L}_\ell(\mu){\rm d} \mu
\end{align}
接著將$P(k,\mu)$的形式代入：
\begin{align}
P_0(k) &= P_{\rm m}(k) \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}(3x^2-1)(b+f\mu^2)^2{\rm d}\mu \
&=(b^2+\frac{2}{3}+\frac{1}{5})P_{\rm m}(k)
\end{align}
同理可得：
\begin{align}
P_2(k) = (\frac{4}{3}bf+\frac{4}{7}f^2)P_{\rm m}(k)
\end{align}
\begin{align}
P_4(k) = \frac{8}{35}f^2P_{\rm m}(k)
\end{align}
因此從上面的$P_\ell(k)$表達式可以看到，在僅包含Kaiser效應的情況下，$P_0(k)$、$P_2(k)$和$P_4(k)$均大於0。
