最近看到一篇关于星系RSD效应功率谱的文章，里面有Kaiser效应的展开形式，并且包含多级功率谱，于是手动推导了一下，恍然大悟，在此记下：
只包含Kaiser效应
星系理论二维功率谱$P(k,\mu)$：
\begin{align}
P(k,\mu) = (b+f\mu^2)^2P_{\rm m}(k)
\end{align}
其中$P_{\rm m}(k)$是线性物质功率谱。
可以根据勒让德多项式${\cal L}_\ell(\mu)$展开为：
\begin{align}
P(k,\mu) = \sum_\ell P_\ell(k){\cal L}(\mu)
\end{align}
\begin{align}
\ell = 0: & \quad \mathcal{L}(\mu) = 1 \
\ell = 2: & \quad \mathcal{L}(\mu) = \dfrac{1}{2}(3\mu^2 - 1) \
\ell = 4: & \quad \mathcal{L}(\mu) = \dfrac{1}{8}(35\mu^2 - 30\mu + 3)
\end{align}
可以根据星系理论二维功率谱$P(k,\mu)$推导出勒让德多级展开形式$P_\ell(k)$：
\begin{align}
P_\ell(k) = \int_{-1}^1 \frac{2\ell+1}{2} P(k,\mu){\cal L}_\ell(\mu){\rm d} \mu
\end{align}
接着将$P(k,\mu)$的形式代入：
\begin{align}
P_0(k) &= P_{\rm m}(k) \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}(3x^2-1)(b+f\mu^2)^2{\rm d}\mu \
&=(b^2+\frac{2}{3}+\frac{1}{5})P_{\rm m}(k)
\end{align}
同理可得：
\begin{align}
P_2(k) = (\frac{4}{3}bf+\frac{4}{7}f^2)P_{\rm m}(k)
\end{align}
\begin{align}
P_4(k) = \frac{8}{35}f^2P_{\rm m}(k)
\end{align}
因此从上面的$P_\ell(k)$表达式可以看到，在仅包含Kaiser效应的情况下，$P_0(k)$、$P_2(k)$和$P_4(k)$均大于0。
